1.11 诺顿定理

本教程将学习诺顿定理。与戴维宁定理一样，诺顿定理是电气电路分析领域的一个重要概念。

引言

与戴维宁定理不同，诺顿定理将电路的一部分替换为一个等效电路，该电路由一个电流源和一个并联电阻组成。这一理论是戴维宁定理的扩展，由 E. L. 诺顿于 1926 年提出。

与戴维宁定理类似，诺顿定理也用于通过简单的计算来计算负载变量，如负载电压、负载电流和负载功率，而无需使用其他电路简化技术。因此，诺顿定理也被称为戴维宁定理的对偶定理。在大多数情况下，选择负载电阻以将最大功率传输到负载，通常由戴维宁定理或诺顿定理决定。

诺顿定理的表述

诺顿定理指出，任何由独立电源和线性电阻组成的双端线性网络，都可以被一个等效电路替换，该电路由一个电流源和一个并联电阻组成。

这个等效电流源的大小等于通过负载端子的短路电流，而等效电阻是当电路中的所有电源被其内部电阻替换时，从负载端子看到的电阻。

下图中，电路的一部分（包含电源和电阻）被一个电流源和一个并联电阻替换，使得两种情况下通过负载的电流相同。

对于交流电路，可以表述为：任何包含独立电源和阻抗的双端有源网络，都可以被一个等效电路替换，该电路由一个恒定电流源和一个并联阻抗组成。

电流源的值等于通过网络短路端子的电流。并联阻抗是从短路端子看到的等效阻抗，当所有电源被其内部阻抗替换时。

诺顿定理的分析步骤

为了使用诺顿定理找到负载变量，需要确定诺顿等效参数。这些参数包括诺顿电流（等效电流源的大小）和诺顿电阻 $R_N$（或阻抗 $Z_N$）。以下是确定这些参数的步骤：

1. 考虑给定电路，从输出或负载端子断开负载电阻（或交流电路中的阻抗），并短路负载端子。

2. 通过应用任何电路简化技术（如网孔分析、节点分析或叠加定理）确定通过短路端子的短路电流 $I_N$。或者，可以使用安培表实验性地测量负载电流。

3. 重新绘制给定电路，将电路中的所有实际电源替换为其内部电压，即短路电压源并开路电流源。同时，确保打开或移除负载的短路端子。

4. 通过从负载端子查看，计算负载端子之间存在的电阻（或阻抗）。这个电阻是等效的诺顿电阻 $R_N$（或阻抗 $Z_N$）。

5. 将电阻（或阻抗）与电流源 $I_N$ 并联插入，形成诺顿等效电路。

6. 现在，将负载重新连接到诺顿等效电路，并计算与负载相关的电流、电压和功率，如下所示：

在直流电路中：

负载电流：

$I_L = I_N \times \frac{R_N}{R_L + R_N}$

负载电压：

$V_L = I_L \times R_L$

负载上消耗的功率：

$P = I_L^2 \times R_L$

在交流电路中：

负载电流：

$I_L = I_N \times \frac{Z_N}{Z_L + Z_N}$

负载电压：

$V_L = I_L \times Z_L$

负载上消耗的功率：

$P = I_L^2 \times Z_L$

直流电路等效电路示例

让我们考虑戴维宁定理示例中的相同直流电路，应用诺顿定理来找到通过分支 ab 的电流，即通过负载电阻 $R_L = R_2 = 2$ 欧姆的电流。

1. 断开负载电阻并短路负载端子 a 和 b。在图中表示每个回路中的电流流向。

2. 对每个回路应用网孔分析，以找到通过短路端子的电流 $I_N$。

通过在回路 1 应用 KVL，我们得到：

$6 - (I_1 - I_2) R_4 = 0$

代入 $I_2 = -4$ A：

$I_1 = 6 - \frac{16}{4} = -2.5 \, \text{A}$

通过在回路 3 应用 KVL，我们得到：

$- I_3 R_1 - (I_3 - I_2) R_3 = 0$ $-4I_3 - 6 (I_3 + 4) = 0$ $-10I_3 = 24$ $I_3 = -2.4 \, \text{A}$

因此，

$I_N = I_1 - I_3 = -2.5 + 2.4 = 0.1 \, \text{A}$

电流从 a 流向 b。

3. 接下来，确定等效电阻 $R_N$。为了计算这个电阻，需要将所有电源替换为其内部电阻，并移除负载的短路端子。

然后，端子 a 和 b 之间的总电阻 $R_N$ 为：

$R_N = \frac{10 \times 4}{10 + 4} = 2.85 \, \text{欧姆}$

4. 将上述计算出的电流 $I_N$ 与电阻 $R_N$ 并联放置，形成诺顿等效电路，如下图所示。为了确定负载变量，我们将负载电阻重新连接到负载端子上。

然后，负载电流 $I_L$ 为：

$I_L = I_N \times \frac{R_N}{R_L + R_N} = 0.1 \times \frac{2.85}{2 + 2.85} = 0.05 \, \text{安培}$

使用上述计算值，原电路与下图相似，图中表示了分支 ab 上的负载电流。

对于不同的负载电阻值，电流如下：

当 $R_L = 8$ 欧姆时：

$I_L = 0.1 \times \frac{2.85}{8 + 2.85} = 0.02 \, \text{A}$

当 $R_L = 12$ 欧姆时：

$I_L = 0.1 \times \frac{2.85}{12 + 2.85} = 0.01 \, \text{A}$

诺顿定理与戴维宁定理的关系

通过将上述示例与戴维宁定理示例进行比较，我们可以观察到线性网络的诺顿等效电路由一个诺顿电流源 $I_N$ 并联一个戴维宁电阻 $R_{th}$ 组成。

因此，可以通过对戴维宁等效电路进行电源转换来获得诺顿等效电路，反之亦然。

使用电源转换，可以从诺顿等效电路中确定电压源（$V_{th}$）和串联电阻（$R_{th}$）的大小：

$V_{th} = R_N \times I_N$ $R_{th} = R_N$

对于上述示例：

$V_{th} = 2.85 \times 0.1 = 0.28 \, \text{伏特}$

因此，我们可以使用这两种方法中的任何一种来以简单的方式分析电路。然而，戴维宁定理的优点也适用于诺顿定理。使用这些方法，可以在不进行复杂计算的情况下，找到不同负载电阻值的电流和电压值。

因此，诺顿定理使基于应用的设计变得更加容易。使用这两种定理的选择取决于需要这些等效电路的应用场景，例如电流跟随电路（使用诺顿等效电路）和电压放大器（使用戴维宁等效电路）。

交流电路等效电路示例

考虑下图所示的交流电路，该电路已经使用戴维宁定理进行了分析。在这个电路中，我们将使用诺顿定理来找到通过阻抗 $4 + 4j$ 欧姆的电流。

上述电路包含两个电压源，可以将其转换为电流源：

$I_{s1} = \frac{V_{s1}}{R_{s1}} = \frac{2\angle 0}{1} = 2 \, \text{A}$

类似地，

$I_{s2} = \frac{V_{s2}}{R_{s2}} = \frac{4\angle 0}{2} = 2 \, \text{A}$

转换后，电路如下图所示。

为了应用诺顿定理，我们断开负载阻抗并短路负载端子，如下图所示。假设电流方向如图中所示。

将上述图视为一个节点，总电流为 6 安培，总并联电阻为 0.574 欧姆。为了方便找到诺顿电流，可以将其转换为一个电压源：

$V_s = 6 \angle 0 \times 0.574 = 3.44 \angle 0 \, \text{V}$

因此，诺顿电流 $I_N$ 为：

$I_N = \frac{V_N}{0.574} = \frac{3.44 \angle 0}{0.574} = 5.97 \angle 0 \, \text{A}$

诺顿等效阻抗等于电路的等效阻抗，即 $Z_N = 0.574$ 欧姆。

因此，通过 $4 + j4$ 阻抗的负载电流为：

$I_L = I_N \times \frac{Z_N}{Z_L + Z_N} = 5.97 \angle 0 \times \frac{0.574}{4 + j4 + 0.574}$ $= \frac{3.42}{6.07 \angle 41.17} = 0.56 \angle -41.17 \, \text{A}$

这个值与戴维宁定理在交流电路示例中得到的值相同。因此，诺顿定理是戴维宁定理的对偶定理。戴维宁定理的局限性也适用于诺顿定理。